a) 4x2-1 2x²-7x-4 б) x²-x-6 x²-3x-10

2 вариант

2. Сократите дробь:

а) \(\frac{4x^2 - 1}{2x^2 - 7x - 4}\)

Пошаговое решение:

Разложим числитель \(4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\).

Разложим знаменатель \(2x^2 - 7x - 4\) на множители. Решим уравнение \(2x^2 - 7x - 4 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81\).

Корни: \(x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = 4\), \(x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}\).

Тогда \(2x^2 - 7x - 4 = 2(x - 4)(x + \frac{1}{2}) = (x - 4)(2x + 1)\).

Сократим дробь: \(\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(x - 4)(2x + 1)} = \frac{2x - 1}{x - 4}\).

б) \(\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 3x - 10}\)

Пошаговое решение:

Разложим числитель \(x^2 - x - 6\) на множители. Решим уравнение \(x^2 - x - 6 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).

Корни: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\).

Тогда \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\).

Разложим знаменатель \(x^2 - 3x - 10\) на множители. Решим уравнение \(x^2 - 3x - 10 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\).

Корни: \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = -2\).

Тогда \(x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)\).

Сократим дробь: \(\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{x - 3}{x - 5}\).