2. Сократите дробь: a) 2x²+5x-3. ; x2-9 б) x²-6x-7 x²-9x+14

1 вариант

2. Сократите дробь:

а) \(\frac{2x^2 + 5x - 3}{x^2 - 9}\)

Пошаговое решение:

Разложим числитель \(2x^2 + 5x - 3\) на множители. Решим уравнение \(2x^2 + 5x - 3 = 0\).

Дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\).

Корни: \(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}\), \(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 - 7}{4} = -3\).

Тогда \(2x^2 + 5x - 3 = 2(x - \frac{1}{2})(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)\).

Разложим знаменатель \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).

Сократим дробь: \(\frac{(2x - 1)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2x - 1}{x - 3}\).

б) \(\frac{x^2 - 6x - 7}{x^2 - 9x + 14}\)

Пошаговое решение:

Разложим числитель \(x^2 - 6x - 7\) на множители. Решим уравнение \(x^2 - 6x - 7 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\).

Корни: \(x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7\), \(x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1\).

Тогда \(x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1)\).

Разложим знаменатель \(x^2 - 9x + 14\) на множители. Решим уравнение \(x^2 - 9x + 14 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25\).

Корни: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2} = \frac{9 + 5}{2} = 7\), \(x_2 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2} = \frac{9 - 5}{2} = 2\).

Тогда \(x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2)\).

Сократим дробь: \(\frac{(x - 7)(x + 1)}{(x - 7)(x - 2)} = \frac{x + 1}{x - 2}\).