a) y = log₃ x ⋅ arcsin x

a)

Для нахождения производной этой функции, нам нужно применить правило производной произведения. Правило гласит: производная произведения двух функций равна сумме произведений:

1. Производная первой функции, умноженная на вторую функцию.
2. Первая функция, умноженная на производную второй функции.

Наши функции:

• Первая функция:
  \[ f(x) = \log_3 x \]
• Вторая функция:
  \[ g(x) = \arcsin x \]

Найдем производные каждой из них:

1. Производная
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\log_3 x) = \frac{1}{x \ln 3} \]
2. Производная
   \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

Теперь подставим эти производные в правило производной произведения:

\[ y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

\[ y' = \left( \frac{1}{x \ln 3} \right) \arcsin x + (\log_3 x) \left( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) \]

Упростим выражение:

\[ y' = \frac{\arcsin x}{x \ln 3} + \frac{\log_3 x}{\sqrt{1 - x^2}} \]

Ответ:
\[ y' = \frac{\arcsin x}{x \ln 3} + \frac{\log_3 x}{\sqrt{1 - x^2}} \]