А1. Из точки данной окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Решение:

Рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Из точки A на окружности проведены диаметр AB и хорда AC. По условию, хорда AC равна радиусу, то есть AC = R.

Так как AB — диаметр, то треугольник ACB вписан в окружность и опирается на диаметр, значит, он прямоугольный, и \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник AOC. OA и OC — радиусы окружности, следовательно, OA = OC = R. Треугольник AOC — равнобедренный.

Также, по условию, хорда AC = R. Значит, треугольник AOC равносторонний, и все его углы равны 60°.

Угол между диаметром AB и хордой AC — это \( \angle CAB \).

В равностороннем треугольнике AOC, \( \angle AOC = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle CAB \) является углом равностороннего треугольника AOC, следовательно, \( \angle CAB = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.