A 1) log_1/2(x + 5) = -1; 2) lg(x - 1) + lg(x + 1) = 3lg2 + lg(x - 2); 3) log_3 x + log_9 x + log_27 x = 5,5.

Решение:

1. Дано:

   • \[ \log_{\frac{1}{2}} (x + 5) = -1 \]

   Решение:

   • По определению логарифма:

   \[ x + 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \]

   • \[ x + 5 = 2 \]
   • \[ x = 2 - 5 \]
   • \[ x = -3 \]

   Проверка:

   • \[ x + 5 = -3 + 5 = 2 > 0 \]
   • \[ \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1 \text{ (верно)} \]

2. Дано:

   • \[ \lg(x - 1) + \lg(x + 1) = 3\lg2 + \lg(x - 2) \]

   Решение:

   • Используем свойства логарифмов:

   \[ \lg((x - 1)(x + 1)) = \lg(2^3) + \lg(x - 2) \]

   \[ \lg(x^2 - 1) = \lg8 + \lg(x - 2) \]

   \[ \lg(x^2 - 1) = \lg(8(x - 2)) \]

   • Приравниваем аргументы логарифмов:

   \[ x^2 - 1 = 8(x - 2) \]

   \[ x^2 - 1 = 8x - 16 \]

   \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]

   • Решаем квадратное уравнение:

   \[ (x - 3)(x - 5) = 0 \]

   • \[ x_1 = 3, \quad x_2 = 5 \]

   Проверка:

   • Для $$x=3$$:
   • \[ x - 1 = 3 - 1 = 2 > 0 \]
   • \[ x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0 \]
   • \[ x - 2 = 3 - 2 = 1 > 0 \]
   • ($$3 = 3$$)
   • Для $$x=5$$:
   • \[ x - 1 = 5 - 1 = 4 > 0 \]
   • \[ x + 1 = 5 + 1 = 6 > 0 \]
   • \[ x - 2 = 5 - 2 = 3 > 0 \]
   • ($$5 = 5$$)

3. Дано:

   • \[ \log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = 5.5 \]

   Решение:

   • Приведем все логарифмы к одному основанию (например, 3):

   \[ \log_3 x + \frac{\log_3 x}{\log_3 9} + \frac{\log_3 x}{\log_3 27} = 5.5 \]

   \[ \log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} + \frac{\log_3 x}{3} = 5.5 \]

   • Вынесем $$\log_3 x$$ за скобки:

   \[ \log_3 x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 5.5 \]

   \[ \log_3 x \left(\frac{6 + 3 + 2}{6}\right) = 5.5 \]

   \[ \log_3 x \left(\frac{11}{6}\right) = \frac{11}{2} \]

   • Найдем $$\log_3 x$$:

   \[ \log_3 x = \frac{11}{2} \cdot \frac{6}{11} \]

   \[ \log_3 x = 3 \]

   • По определению логарифма:

   \[ x = 3^3 \]

   \[ x = 27 \]

   Проверка:

   • \[ x = 27 > 0 \]
   • \[ \log_3 27 + \log_9 27 + \log_{27} 27 = 3 + \frac{\log_3 27}{\log_3 9} + 1 = 3 + \frac{3}{2} + 1 = 4 + 1.5 = 5.5 \text{ (верно)} \]

Финальный ответ:

Ответ: 1) -3; 2) 3, 5; 3) 27.