Б 1) lg(x - 9) + 2lg√2x - 1 = 2; 2) 2log_2 x + log_√2 x + log_1/2 x = 9; 3) log_x^3 10 - log_x^2 10 - 6log_x 10 = 0.

Решение:

1. Дано:

   • \[ \lg(x - 9) + 2\lg\sqrt{2x - 1} = 2 \]

   Решение:

   • Используем свойства логарифмов:

   \[ \lg(x - 9) + \lg(\sqrt{2x - 1}^2) = 2 \]

   \[ \lg(x - 9) + \lg(2x - 1) = 2 \]

   \[ \lg((x - 9)(2x - 1)) = 2 \]

   \[ (x - 9)(2x - 1) = 10^2 \]

   \[ 2x^2 - x - 18x + 9 = 100 \]

   \[ 2x^2 - 19x - 91 = 0 \]

   • Решаем квадратное уравнение:

   \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 \]

   \[ \sqrt{D} = 33 \]

   \[ x = \frac{19 \pm 33}{4} \]

   • \[ x_1 = \frac{19 + 33}{4} = \frac{52}{4} = 13 \]
   • \[ x_2 = \frac{19 - 33}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5 \]

   Проверка:

   • Для $$x=13$$:
   • \[ x - 9 = 13 - 9 = 4 > 0 \]
   • \[ 2x - 1 = 2 \cdot 13 - 1 = 26 - 1 = 25 > 0 \]
   • ($$13 = 13$$)
   • Для $$x=-3.5$$:
   • \[ x - 9 = -3.5 - 9 = -12.5 < 0 \]
   • (не подходит)

2. Дано:

   • \[ 2\log_2 x + \log_{\sqrt{2}} x + \log_{\frac{1}{2}} x = 9 \]

   Решение:

   • Приведем все логарифмы к одному основанию (например, 2):

   \[ \log_2 x^2 + \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} + \frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}} = 9 \]

   \[ 2\log_2 x + \frac{\log_2 x}{\frac{1}{2}} + \frac{\log_2 x}{-1} = 9 \]

   \[ 2\log_2 x + 2\log_2 x - \log_2 x = 9 \]

   \[ 3\log_2 x = 9 \]

   \[ \log_2 x = 3 \]

   • По определению логарифма:

   \[ x = 2^3 \]

   \[ x = 8 \]

   Проверка:

   • \[ x = 8 > 0 \]
   • \[ 2\log_2 8 + \log_{\sqrt{2}} 8 + \log_{\frac{1}{2}} 8 = 2 \cdot 3 + \frac{\log_2 8}{\log_2 \sqrt{2}} + \frac{\log_2 8}{\log_2 \frac{1}{2}} = 6 + \frac{3}{\frac{1}{2}} + \frac{3}{-1} = 6 + 6 - 3 = 9 \text{ (верно)} \]

3. Дано:

   • \[ \log_x^3 10 - \log_x^2 10 - 6\log_x 10 = 0 \]

   Решение:

   • Сделаем замену переменной: пусть $$y = \log_x 10$$.

   \[ y^3 - y^2 - 6y = 0 \]

   • Вынесем $$y$$ за скобки:

   \[ y(y^2 - y - 6) = 0 \]

   \[ y(y - 3)(y + 2) = 0 \]

   • Получаем три возможных значения для $$y$$: $$y=0$$, $$y=3$$, $$y=-2$$.
   • Вернемся к замене:

   \[ \log_x 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad 10 = x^0 \quad \Rightarrow \quad 10 = 1 \quad \text{(решений нет)} \]

   \[ \log_x 10 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[3]{10} \]

   \[ \log_x 10 = -2 \quad \Rightarrow \quad x^{-2} = 10 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^2} = 10 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{1}{10} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} \]

   Проверка:

   • Основание логарифма $$x$$ должно быть положительным и не равным 1.
   • \[ x = \sqrt[3]{10} \text{ (подходит, так как } \sqrt[3]{10} > 0 \text{ и }
     eq 1) \]
   • \[ x = \frac{1}{\sqrt{10}} \text{ (подходит, так как } \frac{1}{\sqrt{10}} > 0 \text{ и }
     eq 1) \]
   • \[ x = -\frac{1}{\sqrt{10}} \text{ (не подходит, так как основание логарифма должно быть положительным)} \]

Финальный ответ:

Ответ: 1) 13; 2) 8; 3) $$\sqrt[3]{10}$$, $$\frac{1}{\sqrt{10}}$$.