B 1) log_1/5 (2+x)/10 = log_1/5 (2)/(x+1); 2) log_1/2 (x - 1) - log_2(x + 1) - log_1/√2 (7 - x) = 1; 3) log_2^3 2x = 2log_2^2 x - 9.

Решение:

1. Дано:

   • \[ \log_{\frac{1}{5}} \frac{2+x}{10} = \log_{\frac{1}{5}} \frac{2}{x+1} \]

   Решение:

   • Приравниваем аргументы логарифмов, так как основания равны:

   \[ \frac{2+x}{10} = \frac{2}{x+1} \]

   • Решаем пропорцию:

   \[ (2+x)(x+1) = 10 \cdot 2 \]

   \[ 2x + 2 + x^2 + x = 20 \]

   \[ x^2 + 3x + 2 - 20 = 0 \]

   \[ x^2 + 3x - 18 = 0 \]

   • Решаем квадратное уравнение:

   \[ (x + 6)(x - 3) = 0 \]

   • \[ x_1 = -6, \quad x_2 = 3 \]

   Проверка:

   • Для $$x=-6$$:
   • \[ \frac{2+x}{10} = \frac{2-6}{10} = \frac{-4}{10} < 0 \]
   • \[ \frac{2}{x+1} = \frac{2}{-6+1} = \frac{2}{-5} < 0 \]
   • (Оба аргумента отрицательны, что недопустимо для логарифма с основанием 1/5. Однако, если рассматривать как равенство выражений, то возможно.)
   • Для $$x=3$$:
   • \[ \frac{2+x}{10} = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} = 0.5 > 0 \]
   • \[ \frac{2}{x+1} = \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4} = 0.5 > 0 \]
   • (Оба аргумента положительны, подходит)

2. Дано:

   • \[ \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) - \log_2(x + 1) - \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} (7 - x) = 1 \]

   Решение:

   • Приведем все логарифмы к одному основанию (например, 2):

   \[ \frac{\log_2 (x - 1)}{\log_2 \frac{1}{2}} - \log_2(x + 1) - \frac{\log_2 (7 - x)}{\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}} = 1 \]

   \[ \frac{\log_2 (x - 1)}{-1} - \log_2(x + 1) - \frac{\log_2 (7 - x)}{-\frac{1}{2}} = 1 \]

   \[ -\log_2 (x - 1) - \log_2(x + 1) + 2\log_2 (7 - x) = 1 \]

   \[ -(\log_2 (x - 1) + \log_2(x + 1)) + 2\log_2 (7 - x) = 1 \]

   \[ -\log_2 ((x - 1)(x + 1)) + \log_2 (7 - x)^2 = 1 \]

   \[ -\log_2 (x^2 - 1) + \log_2 (7 - x)^2 = 1 \]

   \[ \log_2 \frac{(7 - x)^2}{x^2 - 1} = 1 \]

   • По определению логарифма:

   \[ \frac{(7 - x)^2}{x^2 - 1} = 2^1 \]

   \[ \frac{49 - 14x + x^2}{x^2 - 1} = 2 \]

   \[ 49 - 14x + x^2 = 2(x^2 - 1) \]

   \[ 49 - 14x + x^2 = 2x^2 - 2 \]

   \[ 0 = 2x^2 - x^2 + 14x - 49 - 2 \]

   \[ x^2 + 14x - 51 = 0 \]

   • Решаем квадратное уравнение:

   \[ D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51) = 196 + 204 = 400 \]

   \[ \sqrt{D} = 20 \]

   \[ x = \frac{-14 \pm 20}{2} \]

   • \[ x_1 = \frac{-14 + 20}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
   • \[ x_2 = \frac{-14 - 20}{2} = \frac{-34}{2} = -17 \]

   Проверка:

   • Для $$x=3$$:
   • \[ x - 1 = 3 - 1 = 2 > 0 \]
   • \[ x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0 \]
   • \[ 7 - x = 7 - 3 = 4 > 0 \]
   • ($$3 = 3$$)
   • Для $$x=-17$$:
   • \[ x - 1 = -17 - 1 = -18 < 0 \]
   • (не подходит)

3. Дано:

   • \[ \log_2^3 2x = 2\log_2^2 x - 9 \]

   Решение:

   • Используем свойства логарифмов: $$\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$$.
   • Сделаем замену переменной: пусть $$y = \log_2 x$$.

   \[ (1 + y)^3 = 2y^2 - 9 \]

   \[ 1 + 3y + 3y^2 + y^3 = 2y^2 - 9 \]

   \[ y^3 + 3y^2 - 2y^2 + 3y + 1 + 9 = 0 \]

   \[ y^3 + y^2 + 3y + 10 = 0 \]

   • Подбором находим целый корень. Пробуем делители числа 10: $$\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$$.
   • При $$y = -2$$: \((-2)^3 + (-2)^2 + 3(-2) + 10 = -8 + 4 - 6 + 10 = 0\).
   • Значит, $$y = -2$$ — корень. Разделим многочлен на $$(y+2)$$:

   \[ (y + 2)(y^2 - y + 5) = 0 \]

   • Рассмотрим квадратное уравнение $$y^2 - y + 5 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19 < 0$$. Действительных корней нет.
   • Единственное решение для $$y$$ — $$y = -2$$.
   • Вернемся к замене:

   \[ \log_2 x = -2 \]

   \[ x = 2^{-2} \]

   \[ x = \frac{1}{4} \]

   Проверка:

   • \[ x = \frac{1}{4} > 0 \]
   • \[ \log_2^3 (2 \cdot \frac{1}{4}) = \log_2^3 \frac{1}{2} = (-1)^3 = -1 \]
   • \[ 2\log_2^2 \frac{1}{4} - 9 = 2(-2)^2 - 9 = 2 \cdot 4 - 9 = 8 - 9 = -1 \]
   • (Равенство выполняется)

Финальный ответ:

Ответ: 1) 3; 2) 3; 3) $$\frac{1}{4}$$.