А10. Хорда АВ равна 38 см. ОА и ОВ - радиусы окружности, причем угол АОВ равен 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ.

Задание А10: Расстояние от центра до хорды

Дано:

• Хорда \( AB = 38 \) см.
• Радиусы \( OA = OB \) (так как это радиусы одной окружности).
• Угол \( \angle AOB = 90^\circ \).

Найти: расстояние от точки \( O \) до хорды \( AB \).

Решение:

1. Треугольник \( \triangle AOB \) является равнобедренным, так как \( OA = OB \) (радиусы). Угол при вершине \( \angle AOB = 90^\circ \), значит, \( \triangle AOB \) — прямоугольный и равнобедренный.

2. Расстояние от точки \( O \) до хорды \( AB \) — это длина перпендикуляра, опущенного из \( O \) на \( AB \). Обозначим точку пересечения как \( M \). В равнобедренном треугольнике \( \triangle AOB \) высота \( OM \), проведенная к основанию \( AB \), является также медианой и биссектрисой.

3. Так как \( OM \) — медиана, то \( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{38}{2} = 19 \) см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OMA \) (угол \( \angle OMA = 90^\circ \)). Мы знаем \( AM = 19 \) см. Однако, мы не знаем радиус \( OA \).

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике \( \triangle AOB \) катеты \( OA \) и \( OB \) равны. По теореме Пифагора: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 \).

6. Так как \( OA = OB \), то \( AB^2 = 2  OA^2 \).

7. Подставим значение \( AB \): \( 38^2 = 2  OA^2 \) → \( 1444 = 2  OA^2 \) → \( OA^2 = \frac{1444}{2} = 722 \).

8. Теперь найдем \( OA \): \( OA = \sqrt{722} \) см.

9. В прямоугольном треугольнике \( \triangle OMA \) мы можем найти \( OM \) по теореме Пифагора: \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \).

10. Подставим известные значения: \( 722 = OM^2 + 19^2 \) → \( 722 = OM^2 + 361 \).

11. Решим для \( OM^2 \): \( OM^2 = 722 - 361 = 361 \).

12. Найдем \( OM \): \( OM = \sqrt{361} = 19 \) см.

Альтернативный подход (используя свойства равнобедренного прямоугольного треугольника):

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к гипотенузе, равны половине гипотенузы. В нашем случае \( OM \) является высотой к гипотенузе \( AB \) в равнобедренном прямоугольном треугольнике \( \triangle AOB \) (где \( OA \) и \( OB \) — катеты, а \( AB \) — гипотенуза).

Значит, \( OM = \frac{1}{2} AB = \frac{38}{2} = 19 \) см.

Ответ: 19 см.