А11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а один из катетов – 5 см. Найдите наибольший из острых углов данного треугольника.

Задание А11: Наибольший острый угол прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) (угол \( C = 90^\circ \)).
• Гипотенуза \( AB = 10 \) см.
• Один из катетов, например \( AC = 5 \) см.

Найти: наибольший из острых углов.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^\circ \). Для нахождения углов используем тригонометрические функции.

2. Найдем второй катет \( BC \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\[ 10^2 = 5^2 + BC^2 \]

\[ 100 = 25 + BC^2 \]

\[ BC^2 = 100 - 25 = 75 \]

\[ BC = \(\sqrt{75}\) = \(\sqrt{25 \u0002 3}\) = 5\(\sqrt{3}\) \) см.

3. Теперь найдем острые углы. Острый угол, противолежащий большему катету, является большим углом. Сравним катеты: \( AC = 5 \) см и \( BC = 5\sqrt{3} \) см. Поскольку \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), то \( BC = 5 \u0002 1.732 \approx 8.66 \) см. Следовательно, \( BC \) — больший катет.

4. Рассмотрим угол \( \angle A \), противолежащий катету \( BC \).

\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), равен \( 60^\circ \).

\( \angle A = 60^\circ \).

5. Рассмотрим угол \( \angle B \), противолежащий катету \( AC \).

\( \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен \( 30^\circ \).

\( \angle B = 30^\circ \).

6. Проверим сумму острых углов: \( 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ \). Это соответствует условию.

7. Наибольший из острых углов — \( 60^\circ \).

Ответ: 60°.