А11. В четырёхугольнике ABCD \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). K — середина AB. Прямая DK пересекает прямую BC в точке N. Среди указанных пар векторов укажите те, которые не являются коллинеарными: а) \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{NC}\); б) \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{DC}\); в) \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{DA}\); г) \(\overrightarrow{BN}\) и \(\overrightarrow{DA}\).

Из равенства \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) следует, что ABCD — параллелограмм. Введём координаты: пусть \(A=(0,0)\), \(B=(2,0)\), \(D=(u,v)\). Тогда \(C=(u+2,v)\), а середина AB — точка \(K=(1,0)\).

Прямая DK пересекает прямую BC в точке \(N=(2-u,-v)\). Поэтому \(\overrightarrow{NC}=(2u,2v)=2\overrightarrow{AD}\), а \(\overrightarrow{BN}=(-u,-v)=\overrightarrow{DA}\): пары а) и г) коллинеарны.

Векторы \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{DC}\) направлены вдоль AB, поэтому пара б) коллинеарна. Вектор \(\overrightarrow{BK}\) также направлен вдоль AB, тогда как \(\overrightarrow{DA}\) направлен вдоль диагональной стороны AD; эти векторы не коллинеарны.

Ответ: в) \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{DA}\).