А18. Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте в этом дереве событие «стрелок попал в мишень» и найдите его вероятность, если вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна: a) 0,4; б) 0,8.

Решение:

Дерево событий:

1. Первый выстрел:
   1. Попал (вероятность 0,4). Стрельба прекращается.
   2. Промах (вероятность 1 - 0,4 = 0,6). Делается второй выстрел.
2. Второй выстрел (если был промах в первом):
   1. Попал (вероятность 0,4).
   2. Промах (вероятность 0,4).

Событие «стрелок попал в мишень» (А) может произойти в двух случаях:

• Первый выстрел — Попадание (событие А1).
• Первый выстрел — Промах, второй выстрел — Попадание (событие А2).

Вероятность события А:

а) При вероятности попадания 0,4:

\( P(A1) = 0.4 \)

\( P(A2) = P(Промах в первом) \cdot P(Попадание во втором) = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 \)

\( P(A) = P(A1) + P(A2) = 0.4 + 0.24 = 0.64 \)

б) При вероятности попадания 0,8:

\( P(A1) = 0.8 \)

\( P(A2) = P(Промах в первом) \cdot P(Попадание во втором) = (1 - 0.8) \cdot 0.8 = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \)

\( P(A) = P(A1) + P(A2) = 0.8 + 0.16 = 0.96 \)

Ответ: а) 0,64; б) 0,96.