А19. В коробке 5 синих и 6 зелёных карандашей. Из коробки по очереди случайным образом вынимают два карандаша. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте в этом дереве событие А и найдите его вероятность: а) А «оба извлечённых карандаша синие»; б) А «извлечены разноцветные карандаши».

Решение:

Всего в коробке \( 5 + 6 = 11 \) карандашей.

Дерево событий:

1. Первый карандаш:
   1. Синий (вероятность \( \frac{5}{11} \)).
   2. Зелёный (вероятность \( \frac{6}{11} \)).
2. Второй карандаш (после извлечения первого):
   1. Если первый был синий:
   • Синий (вероятность \( \frac{4}{10} \) — осталось 4 синих из 10).
   • Зелёный (вероятность \( \frac{6}{10} \) — осталось 6 зелёных из 10).
   2. Если первый был зелёный:
   • Синий (вероятность \( \frac{5}{10} \) — осталось 5 синих из 10).
   • Зелёный (вероятность \( \frac{5}{10} \) — осталось 5 зелёных из 10).

Вероятность события А:

а) А «оба извлечённых карандаша синие»:

Это соответствует пути: Первый — Синий, Второй — Синий.

\( P(A) = P(\text{Первый синий}) \cdot P(\text{Второй синий | Первый синий}) \)

\( P(A) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} = \frac{20}{110} = \frac{2}{11} \)

б) А «извлечены разноцветные карандаши»:

Это означает, что первый карандаш синий, а второй — зелёный, ИЛИ первый — зелёный, а второй — синий.

\( P(\text{Синий, Зелёный}) = \frac{5}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{30}{110} \)

\( P(\text{Зелёный, Синий}) = \frac{6}{11} \cdot \frac{5}{10} = \frac{30}{110} \)

\( P(A) = P(\text{Синий, Зелёный}) + P(\text{Зелёный, Синий}) = \frac{30}{110} + \frac{30}{110} = \frac{60}{110} = \frac{6}{11} \)

Ответ: а) \( \frac{2}{11} \); б) \( \frac{6}{11} \).