A2. Докажите, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, где AD ∥ BC, а боковые стороны AB и CD равны. Проведём перпендикуляры из B и C к прямой AD; пусть их основания — E и F.

1. Так как BC ∥ AD, расстояния между параллельными прямыми равны, поэтому BE = CF.
2. Треугольники ABE и DCF прямоугольные, их гипотенузы равны (AB = CD), а катеты равны (BE = CF). Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету.
3. Значит, соответствующие углы при основании AD равны: ∠DAB = ∠CDA.
4. Углы при другом основании также равны: каждый из них дополнительный к соответствующему углу при основании AD, поскольку AD ∥ BC. Поэтому ∠ABC = ∠BCD.

Итак, углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.