B1. Точки P, K, L, M — середины сторон ромба ABCD. Докажите, что четырёхугольник PKLM — прямоугольник.

Пусть P, K, L, M — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно.

1. В треугольнике ABC отрезок PK соединяет середины AB и BC, поэтому PK ∥ AC.
2. В треугольнике BCD отрезок KL соединяет середины BC и CD, поэтому KL ∥ BD.
3. Аналогично LM ∥ AC, а MP ∥ BD. Следовательно, PK ∥ LM и KL ∥ MP, то есть PKLM — параллелограмм.
4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: AC ⟂ BD. Поскольку PK ∥ AC и KL ∥ BD, получаем PK ⟂ KL.
5. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, PKLM — прямоугольник.