А2. В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD – медиана треугольника. ∠KDB = 43°. Чему равна величина угла MDB?

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) K — середина AB, M — середина BC. BD — медиана. По теореме Фалеса, если точка K — середина AB, а точка M — середина BC, то KM параллельно AC и KM = 1/2 AC. Так как BD — медиана, она делит AC пополам, то есть D — середина AC. Треугольник KBM подобен треугольнику ABC с коэффициентом 1/2. Угол KDB равен 43°. В равнобедренном треугольнике ABC, медиана BD является также высотой и биссектрисой. Следовательно, BD перпендикулярна AC, что означает, что угол BDA равен 90°. Если угол KDB = 43°, то угол BDM = 90° - 43° = 47°. Так как KM параллельно AC, и BD является секущей, то угол MDB не связан напрямую с KDB. Однако, рассматривая треугольник KBM, в равнобедренном треугольнике ABC, медиана BD, проведенная к основанию AC, является осью симметрии. KM параллельно AC. Поэтому треугольник KBM подобен треугольнику ABC. Угол KDB = 43°. Так как BD является медианой в равнобедренном треугольнике, то D является серединой AC. KM параллельно AC. KM является средней линией треугольника ABC. Треугольник BKM подобен треугольнику BAC. Угол KDB = 43°. Рассматривая симметрию, если BD - медиана, а K и M - середины боковых сторон, то KM параллельно AC. Угол MDB равен углу KDB из-за симметрии относительно медианы BD, если бы D была серединой KM. Но D - середина AC. KM — средняя линия. KM || AC. Рассмотрим треугольник BDM. В треугольнике ABC, BD — медиана, а также высота и биссектриса. Значит, BD ⊥ AC. Угол BDA = 90°. Угол KDB = 43°. Тогда угол BDM = 90° - 43° = 47°. Так как KM || AC, и BD пересекает KM, то угол BDM = 47°.

Ответ: 47°