АЗ. В треугольнике АВС АВ = ВС. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сторонах АВ и ВС точки Р и К соответственно (точки Р, М и К не лежат на одной прямой). Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Величина ∠BPM = 86°. Чему равна величина угла ВКМ?

В треугольнике ABC AB = BC, значит, он равнобедренный. BE — медиана, значит, E — середина AC. По свойству равнобедренного треугольника, медиана BE является также высотой и биссектрисой, то есть BE ⊥ AC и ∠ABE = ∠CBE.

На медиане BE отмечена точка M. P на AB, K на BC. ∠BMP = ∠BMK. Это означает, что BM является биссектрисой угла ∠PMK.

∠BPM = 86°.

Рассмотрим треугольник BPK. У нас есть точки P на AB и K на BC. Мы не знаем, являются ли P и K середины сторон. Однако, нам дано, что AB = BC.

Рассмотрим треугольники BMP и BMK. Они имеют общую сторону BM. Углы ∠BMP и ∠BMK равны. Если бы MP = MK, то треугольники были бы равны по двум сторонам и углу между ними. Но это не дано.

В равнобедренном треугольнике ABC, медиана BE является осью симметрии. Следовательно, если точки P и K симметричны относительно BE, то углы и расстояния будут соответствовать. Однако, P и K не обязательно симметричны.

Дано ∠BPM = 86°. В треугольнике BPM, сумма углов равна 180°. ∠PBM + ∠BMP + ∠BPM = 180°. ∠PBM + ∠BMP + 86° = 180°. ∠PBM + ∠BMP = 94°.

Рассмотрим треугольник BKM. ∠KBM + ∠BMK + ∠BKM = 180°.

Так как AB = BC, ∠ABE = ∠CBE. Пусть ∠ABE = ∠CBE = α. Тогда ∠ABC = 2α.

У нас есть ∠BMP = ∠BMK. Пусть этот угол равен β. Тогда ∠PMK = 2β.

В треугольнике BPM: ∠PBM = α (так как P лежит на AB, и M лежит на BE, которая является биссектрисой ∠ABC, поэтому ∠PBM = ∠ABE = α). Таким образом, α + β + 86° = 180° => α + β = 94°.

В треугольнике BKM: ∠KBM = α (так как K лежит на BC, и M лежит на BE, поэтому ∠KBM = ∠CBE = α). Следовательно, α + β + ∠BKM = 180°.

Из двух уравнений:

1. α + β = 94°
2. α + β + ∠BKM = 180°

Подставим (1) в (2): 94° + ∠BKM = 180°. ∠BKM = 180° - 94° = 86°.

Ответ: 86°