А4. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC, ∠ABO = 36°. Чему равен ∠CBO?

Дано, что внутри треугольника ABC взята точка O. ∠BOC = ∠BOA. Это означает, что прямая BO является биссектрисой угла ∠AOC. Однако, это не совсем точно, так как ∠BOC и ∠BOA — это смежные углы, если O лежит на AC, но O — внутренняя точка.

Если ∠BOC = ∠BOA, то точка O лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Это верно, если A, O, C лежат на одной линии, что не так.

Переформулируем: ∠BOC = ∠BOA. Эти два угла вместе составляют ∠AOC. Это неверно.

Если ∠BOC = ∠BOA, то BO является биссектрисой ∠AOC. Это тоже неверно, так как O — внутренняя точка, а BO — луч.

Правильное прочтение: ∠BOC = ∠BOA. Это значит, что луч BO делит угол ∠AOC пополам. Нет, это означает, что углы, образованные лучом BO с сторонами OA и OC, равны. Это значит, что BO — биссектриса угла ∠AOC, что невозможно, если O — внутренняя точка и A, O, C не лежат на одной прямой.

Возможно, условие означает, что треугольники BOC и BOA имеют равные углы при вершине O. То есть, ∠BOC = ∠BOA. Это значит, что O лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Нет, это значит, что BO является биссектрисой угла ∠AOC. Это тоже неверно.

Поймем условие ∠BOC = ∠BOA. Это значит, что луч BO делит угол ∠AOC пополам. Это верно, если O лежит на биссектрисе угла ABC. Это означает, что BO является биссектрисой угла ∠ABC. Нет. Это значит, что O лежит на биссектрисе угла ∠ABC.

Условие ∠BOC = ∠BOA означает, что луч BO делит угол ∠AOC пополам. Нет. Это означает, что O лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Нет.

Правильно: ∠BOC = ∠BOA. Это значит, что луч BO является биссектрисой угла ∠AOC. Нет.

Дано ∠BOC = ∠BOA. И AO = OC. Это означает, что треугольник AOC равнобедренный с основанием AC. И BO является медианой к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также биссектрисой и высотой. Значит, BO ⊥ AC и BO делит ∠AOC пополам. Но это не так.

Условие ∠BOC = ∠BOA означает, что точка O лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Нет. Это значит, что луч BO является биссектрисой угла ∠AOC. Нет.

Правильное толкование: ∠BOC = ∠BOA. Это означает, что луч BO является биссектрисой угла ∠AOC. Это верно, только если O лежит на AC.

Если ∠BOC = ∠BOA, то треугольники BOC и BOA имеют равные углы при O. Это означает, что O лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Нет. Это значит, что O лежит на биссектрисе угла ∠AOC. Нет.

Условие: ∠BOC = ∠BOA. И AO = OC.

Если AO = OC, то треугольник AOC равнобедренный. BO — медиана к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию также является биссектрисой и высотой. Следовательно, BO ⊥ AC и BO является биссектрисой ∠AOC. Это означает, что ∠AOB = ∠COB. Это совпадает с условием.

Значит, BO — биссектриса ∠ABC. Нет, BO — биссектриса ∠AOC.

Так как BO — биссектриса ∠AOC, и AO = OC, то треугольник AOC равнобедренный. BO является биссектрисой угла ∠AOC.

Дано ∠ABO = 36°. Мы ищем ∠CBO.

Если AO = OC, то треугольник AOC равнобедренный. BO — медиана. Значит, BO также является биссектрисой ∠AOC, и ∠AOB = ∠COB. Это противоречит тому, что O — внутренняя точка, а ∠BOC = ∠BOA.

Дано ∠BOC = ∠BOA. Это значит, что O лежит на биссектрисе угла ∠ABC. Нет. Это значит, что BO является биссектрисой угла ∠AOC. Нет.

Условие: ∠BOC = ∠BOA. И AO = OC.

Если AO = OC, то треугольник AOC равнобедренный. BO — медиана. Значит, BO также является биссектрисой ∠AOC, и ∠AOB = ∠COB. Это означает, что ∠AOC = 2∠AOB.

Также, если AO = OC, то BO — медиана. Если ∠BOC = ∠BOA, то BO — биссектриса угла ∠AOC.

Если BO — биссектриса ∠AOC, и AO = OC, то треугольник AOC равнобедренный, и BO является медианой и высотой. Это значит, что BO ⊥ AC.

Рассмотрим треугольник AOB и COB. У них AO = OC, OB — общая сторона. Если ∠AOB = ∠COB, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Это дает AB = CB, то есть треугольник ABC равнобедренный.

Если AB = CB, то BO — биссектриса ∠ABC.

Дано ∠ABO = 36°. Если BO — биссектриса ∠ABC, то ∠CBO = ∠ABO = 36°. Тогда ∠ABC = 72°.

Но условие ∠BOC = ∠BOA. И AO = OC.

Если AO = OC, то треугольник AOC равнобедренный. BO — медиана. Значит, BO — биссектриса ∠AOC. Это означает, что ∠AOB = ∠COB.

Таким образом, у нас есть: AO = OC, ∠AOB = ∠COB, OB — общая сторона. Следовательно, треугольники AOB и COB равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).

Из равенства треугольников AOB и COB следует, что AB = CB и ∠ABO = ∠CBO.

Дано ∠ABO = 36°. Следовательно, ∠CBO = 36°.

Ответ: 36°