А21. Вычислите интеграл ∫²₋₁ (3x² - 6x + 4)dx

Решение:

Найдем первообразную для функции \( f(x) = 3x^2 - 6x + 4 \).

Первообразная \( F(x) = \int (3x^2 - 6x + 4) dx = 3\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - 3x^2 + 4x + C \).

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\( \int_{-1}^2 (3x^2 - 6x + 4) dx = [x^3 - 3x^2 + 4x]_{-1}^2 \)

Вычислим значение первообразной в верхнем пределе (x=2):

\( F(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4(2) = 8 - 3(4) + 8 = 8 - 12 + 8 = 4 \).

Вычислим значение первообразной в нижнем пределе (x=-1):

\( F(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 3(1) - 4 = -1 - 3 - 4 = -8 \).

Теперь найдем разность:

\( F(2) - F(-1) = 4 - (-8) = 4 + 8 = 12 \).

Ответ: 1. 12;