A21. Вычислите интеграл ∫(6x² + 8x - 1)dx от -2 до 1

Решение:

Вычислим определенный интеграл \( \int_{-2}^{1} (6x^2 + 8x - 1) dx \).

Сначала найдем первообразную функции \( f(x) = 6x^2 + 8x - 1 \):

\[ F(x) = \int (6x^2 + 8x - 1) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = 2x^3 + 4x^2 - x + C \]

Теперь вычислим значение первообразной в пределах интегрирования:

\[ F(1) = 2(1)^3 + 4(1)^2 - 1 = 2 + 4 - 1 = 5 \]

\[ F(-2) = 2(-2)^3 + 4(-2)^2 - (-2) = 2(-8) + 4(4) + 2 = -16 + 16 + 2 = 2 \]

Значение интеграла равно разности значений первообразной в верхнем и нижнем пределах:

\[ \int_{-2}^{1} (6x^2 + 8x - 1) dx = F(1) - F(-2) = 5 - 2 = 3 \]

Ответ: 3) 16; (Примечание: в вариантах ответа есть число 16, но расчет показывает 3. Вероятно, в вариантах ответа ошибка. Если выбрать ближайший вариант, то 3.)