A7. В треугольнике ABC A(0; 0; 0), B(2; -1; 3), C(-1; 1; 1). Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Чтобы найти диаметр описанной окружности, нам нужно найти длину одной из сторон треугольника, а затем использовать теорему синусов.

Сначала найдем длины сторон треугольника:

AB:

\( AB = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \).

BC:

\( BC = \sqrt{(-1-2)^2 + (1-(-1))^2 + (1-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \).

AC:

\( AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \).

Теперь найдем один из углов треугольника. Используем скалярное произведение векторов \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) для нахождения угла \( \angle ABC \) (угол B).

\( \vec{BA} = (0-2, 0-(-1), 0-3) = (-2, 1, -3) \).

\( \vec{BC} = (-1-2, 1-(-1), 1-3) = (-3, 2, -2) \).

Скалярное произведение \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2)(-3) + (1)(2) + (-3)(-2) = 6 + 2 + 6 = 14 \).

Длина \( |\vec{BA}| = AB = \sqrt{14} \).

Длина \( |\vec{BC}| = BC = \sqrt{17} \).

\( \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{14}{\sqrt{14} \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{17}} = \sqrt{\frac{14}{17}} \).

Теперь используем теорему синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R \), где R — радиус описанной окружности.

Нам нужно найти \( \text{sin}(\angle ABC) \). Из \( \cos(\angle ABC) = \sqrt{\frac{14}{17}} \) следует, что \( \sin^2(\angle ABC) = 1 - \cos^2(\angle ABC) \).

\( \sin^2(\angle ABC) = 1 - \frac{14}{17} = \frac{17-14}{17} = \frac{3}{17} \).

Так как \( \triangle ABC \) — это треугольник, то \( \text{sin}(\angle ABC) > 0 \). Следовательно, \( \sin(\angle ABC) = \sqrt{\frac{3}{17}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} \).

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\( 2R = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}}} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{3}} = \sqrt{17} \).

Диаметр описанной окружности равен \( 2R \), что мы уже нашли.

Ответ: B) \(\sqrt{17}\).