A8 На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

Решение:

На рисунке изображен график функции \( y = f(x) \) и три касательные, проведенные к этому графику в точках \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \).

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в данной точке.

Касательная в точке A:

Касательная проходит горизонтально, поэтому её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, \( f'(A) = 0 \).

Касательная в точке B:

Эта касательная имеет отрицательный угловой коэффициент (линия идёт вниз слева направо). Значит, \( f'(B) < 0 \).

Касательная в точке C:

Эта касательная имеет положительный угловой коэффициент (линия идёт вверх слева направо). Значит, \( f'(C) > 0 \).

Касательная в точке D:

Эта касательная также имеет положительный угловой коэффициент, но она более крутая, чем касательная в точке C. Следовательно, \( f'(D) > f'(C) \).

Теперь сопоставим эти выводы с предложенными вариантами:

1. \( -0,5 \) (отрицательное число)
2. \( -2 \) (отрицательное число, меньшее -0,5)
3. \( 1,5 \) (положительное число)
4. \( 0,3 \) (положительное число, меньшее 1,5)

Исходя из нашего анализа:

• \( f'(A) = 0 \) — такого варианта нет.
• \( f'(B) < 0 \). Это может быть 1) \( -0,5 \) или 2) \( -2 \). Так как касательная в точке B имеет больший отрицательный наклон (более круто вниз), чем гипотетическая касательная с наклоном -0,5, то \( f'(B) = -2 \).
• \( f'(C) > 0 \) и \( f'(D) > 0 \), при этом \( f'(D) > f'(C) \). Это соответствуют вариантам 3) \( 1,5 \) и 4) \( 0,3 \). Касательная в точке D более крутая, поэтому \( f'(D) = 1,5 \), а \( f'(C) = 0,3 \).

Ответ: 1) -0,5, 2) -2, 3) 1,5, 4) 0,3.