А8. Найдите значение выражения: a) (4^95) : (7^19)^2; б) (3^66)^5 : (6^29)^2.

Задание А8

а) Вычисление значения выражения

Нужно вычислить: \( (4^{95}) : (7^{19})^2 \)

Решение:

1. Сначала возведём степень в степень во знаменателе: \( (7^{19})^2 = 7^{19 · 2} = 7^{38} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( 4^{95} : 7^{38} \).
3. Так как основания степеней разные (4 и 7) и не сводятся к одному, привести к более простому виду без калькулятора невозможно. Предполагаю, что в условии была опечатка и должно было быть \( 4^{95} : 4^{38} \).
4. Если предположить, что это \( 4^{95} : 4^{38} \), то: \( 4^{95-38} = 4^{57} \).
5. Если предположить, что это \( 4^{38} : 4^{38} \), то: \( 4^{38-38} = 4^0 = 1 \).
6. Если предположить, что это \( 7^{95} : 7^{38} \), то: \( 7^{95-38} = 7^{57} \).
7. Поскольку точное решение без калькулятора невозможно, и скорее всего была опечатка, я приведу решение для наиболее вероятного варианта, где основания одинаковы: \( 4^{95} : 4^{38} \).
8. \( 4^{95-38} = 4^{57} \).

Ответ (с учётом предположения об опечатке): \( 4^{57} \)

б) Вычисление значения выражения

Нужно вычислить: \( (3^{66})^5 : (6^{29})^2 \)

Решение:

1. Сначала возведём степени в степень: \( (3^{66})^5 = 3^{66 · 5} = 3^{330} \) и \( (6^{29})^2 = 6^{29 · 2} = 6^{58} \).
2. Теперь выражение выглядит так: \( 3^{330} : 6^{58} \).
3. Мы можем разложить \( 6^{58} \) как \( (2 · 3)^{58} = 2^{58} · 3^{58} \).
4. Выражение станет: \( 3^{330} : (2^{58} · 3^{58}) \).
5. \( \frac{3^{330}}{2^{58} · 3^{58}} = \frac{3^{330-58}}{2^{58}} = \frac{3^{272}}{2^{58}} \).
6. Так как основания степеней разные (3 и 2), привести к более простому виду без калькулятора невозможно.

Ответ: \( \frac{3^{272}}{2^{58}} \)