A9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $K$ и $M$ — середины диагоналей $A_1C_1$ и $DC_1$, соответственно, граней $A_1B_1C_1D_1$ и $CC_1D_1D$ соответственно. Найдите объём куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если длина отрезка $KM$ равна $3\sqrt2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: A9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $K$ и $M$ — середины диагоналей $A_1C_1$ и $DC_1$, соответственно, граней…$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть ребро куба равно $a$. Точка $K$ — центр верхней грани, а точка $M$ — центр правой грани.

Расстояние между центрами этих соседних граней равно диагонали прямоугольного треугольника с катетами $\frac a2$ и $\frac a2$:

$KM=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt2}{2}$.

По условию:

$\frac{a\sqrt2}{2}=3\sqrt2$, поэтому $a=6$.

Объём куба:

$V=a^3=6^3=216$.

Ответ: 5) 216.