2. AB = 52, P_{\triangle ABC} = ?

Дано: \(AB = 52\) Окружность вписана в прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\). \(CK = 8\) Найти: \(P_{\triangle ABC}\) Решение: Пусть \(AC = x\) и \(BC = y\). Тогда \(AK = AC = x - 8\) и \(BK = BC = y - 8\). Так как \(AK + KB = AB\), то \(x - 8 + y - 8 = 52\). \(x + y - 16 = 52\) \(x + y = 68\) По теореме Пифагора для \(\triangle ABC\): \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \(x^2 + y^2 = 52^2\) \(x^2 + y^2 = 2704\) \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\) \(68^2 = x^2 + y^2 + 2xy\) \(4624 = 2704 + 2xy\) \(2xy = 1920\) \(xy = 960\) Выразим \(y = 68 - x\) и подставим в уравнение \(xy = 960\): \(x(68-x) = 960\) \(68x - x^2 = 960\) \(x^2 - 68x + 960 = 0\) Решаем квадратное уравнение: \(D = (-68)^2 - 4 cdot 1 cdot 960 = 4624 - 3840 = 784\) \(x_1 = \frac{68 + \sqrt{784}}{2} = \frac{68 + 28}{2} = \frac{96}{2} = 48\) \(x_2 = \frac{68 - \sqrt{784}}{2} = \frac{68 - 28}{2} = \frac{40}{2} = 20\) Если \(x = 48\), то \(y = 68 - 48 = 20\). Если \(x = 20\), то \(y = 68 - 20 = 48\). Тогда, периметр \(\triangle ABC\) равен: \(P = x + y + AB = 48 + 20 + 52 = 120\) Ответ: \(P_{\triangle ABC} = 120\)