9. AB - перпендикуляр к плоскости α. AD и AC - наклонные к α, BD = 6, AD = 10, AC = 16. Найдите ∠ACB.

1) Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB перпендикулярна плоскости α, то треугольник ABD прямоугольный (∠ABD = 90°). По теореме Пифагора: $$AB^2 + BD^2 = AD^2$$ $$AB^2 = AD^2 - BD^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$ $$AB = \sqrt{64} = 8$$ 2) Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB перпендикулярна плоскости α, то треугольник ABC прямоугольный (∠ABC = 90°). По теореме Пифагора: $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$ $$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192$$ $$BC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$ 3) Рассмотрим треугольник BCD. Так как AB перпендикулярна плоскости α, то BD перпендикулярна BC и AD. Тогда треугольник BCD прямоугольный (∠BDC = 90°). Теперь мы можем найти CD по теореме Пифагора: $$BC^2 = BD^2 + CD^2$$ $$CD^2 = BC^2 - BD^2 = (8\sqrt{3})^2 - 6^2 = 192 - 36 = 156$$ $$CD = \sqrt{156}$$ 4) Найдём угол ACB из треугольника ABC: $$\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\angle ACB = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 30^\circ$$ Ответ: ∠ACB = 30°.