1. AB и A₁B₁, BC и B₁C₁ - сходственные стороны подобных треугольников ABC и A₁B₁C₁, BC : B₁C₁ = 2 : 3, A₁C₁ = 6 см. Найдите длину AC и отношение площадей этих треугольников.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников. 1. Найдём коэффициент подобия (k): Коэффициент подобия равен отношению сходственных сторон. В данном случае, отношение BC : B₁C₁ = 2 : 3, значит, k = 3/2. 2. Найдём сторону AC: Так как A₁C₁ и AC - сходственные стороны, то AC / A₁C₁ = k. Следовательно, $$AC = A_1C_1 * k = 6 * \frac{3}{2} = 9 \text{ см}$$ 3. Найдём отношение площадей: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. $$(\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}})^2 = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$ Ответ: Длина AC = 9 см, отношение площадей S_ABC : S_A₁B₁C₁ = 4 : 9