3. AB и BC – отрезки касательных, проведенные к окружности с центром O и радиусом, равным 10 см. Найдите BO, если \(\angle AOC = 60^\circ\).

Пусть AB и BC - отрезки касательных к окружности с центром O. Тогда OA и OC - радиусы, проведенные в точки касания A и C соответственно, и они перпендикулярны касательным AB и BC. Следовательно, \(\angle OAB = 90^\circ\) и \(\angle OCB = 90^\circ\). Рассмотрим четырехугольник OABC. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Значит, \(\angle ABC = 360^\circ - \angle OAB - \angle OCB - \angle AOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Так как отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то AB = BC. Также AO = CO (как радиусы). Следовательно, треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle CBO\) равны по трем сторонам. Значит, BO - биссектриса угла ABC. Тогда \(\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABO\). В нем \(\angle OAB = 90^\circ\), AO = 10 см (радиус), \(\angle ABO = 60^\circ\). Тогда \(\angle AOB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Используем тригонометрические функции для нахождения BO. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABO\): \(\sin(\angle ABO) = \frac{AO}{BO}\) \(\sin(60^\circ) = \frac{10}{BO}\) \(BO = \frac{10}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) см. Ответ: \(BO = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) см