4. Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если \(\angle AOB = 60^\circ\) и MA = 9.

Так как MA и MB - касательные к окружности с центром O, то OA \(\perp\) MA и OB \(\perp\) MB. Значит, \(\triangle OAM\) и \(\triangle OBM\) - прямоугольные треугольники. Поскольку MA и MB - касательные, проведенные из одной точки, то MA = MB. Также OA = OB (как радиусы окружности). Таким образом, \(\triangle OAM = \triangle OBM\) по катету и гипотенузе. Следовательно, \(\angle AOM = \angle BOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OAM\). В нем \(\angle OAM = 90^\circ\), MA = 9, \(\angle AOM = 30^\circ\). Тогда \(\tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OA}\). \(\tan(30^\circ) = \frac{9}{OA}\) \(OA = \frac{9}{\tan(30^\circ)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{9 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{27}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{3}\). Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle AOB\). Он равнобедренный (OA = OB как радиусы). \(\angle AOB = 60^\circ\), значит, углы при основании равны: \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\). Так как все углы в \(\triangle AOB\) равны 60 градусам, то это равносторонний треугольник. Следовательно, AB = OA = OB. Таким образом, AB = OA = \(9\sqrt{3}\). Ответ: AB = \(9\sqrt{3}\)