4. AB и CD — диаметры одной окружности. Докажите, что АС || BD и найдите ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

1. Докажем, что AC || BD.

Так как AB и CD - диаметры окружности, то AO = BO = CO = DO, где O - центр окружности. Рассмотрим четырехугольник ACBD, у него диагонали AB и CD точкой пересечения O делятся пополам. Следовательно, ACBD - параллелограмм, а значит AC || BD.

2. Найдем ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

В параллелограмме ACBD углы ∠BAD и ∠CDB равны как накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей AD: $$∠BAD = ∠CDB = 44°$$. ∠ADB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, центральный угол ∠AOB, опирающийся на ту же дугу AB, в два раза больше, то есть $$∠AOB = 2 \cdot ∠ADB = 2 \cdot 44° = 88°$$. Так как CO = BO, то треугольник COB - равнобедренный. Тогда углы при основании OC и OB равны: $$∠OCB = ∠OBC = (180° - ∠COB) / 2$$. Угол ∠COB является смежным с углом ∠AOB, поэтому: $$∠COB = 180° - ∠AOB = 180° - 88° = 92°$$. Тогда $$∠OBC = (180° - 92°) / 2 = 88° / 2 = 44°$$. И $$∠ABC = ∠OBC + ∠ABO = 44° + 44° = 88°$$.

Ответ: ∠ABC = 88°.