ABC uchburchakda AC=√3, AB=√2 va ∠ABC = 45° bo'lsa, ACB burchakning tangensini toping.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон и углов треугольника. В нашем случае, имеем треугольник ABC, где известны стороны AC = √3, AB = √2 и угол ∠ABC = 45°. Нам нужно найти тангенс угла ∠ACB (обозначим его как α). Запишем теорему синусов для данного треугольника: $$\frac{AC}{\sin(∠ABC)} = \frac{AB}{\sin(∠ACB)}$$ Подставим известные значения: $$\frac{\sqrt{3}}{\sin(45°)} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(α)}$$ Знаем, что $$\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Подставим это значение: $$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(α)}$$ Преобразуем уравнение: $$\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(α)}$$ $$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(α)}$$ Теперь найдем $$\sin(α)$$: $$\sin(α) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Теперь найдем угол α, зная его синус. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и один из углов 45°, угол α не может быть тупым. Следовательно, $$\alpha = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{3}})$$. Далее, найдем угол ∠BAC (обозначим его как β): $$\beta = 180° - 45° - \alpha$$ $$\beta = 135° - \alpha$$ Чтобы найти тангенс угла α, сначала найдем косинус угла α. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2(α) + \cos^2(α) = 1$$ $$\cos^2(α) = 1 - \sin^2(α) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$\cos(α) = \sqrt{\frac{2}{3}}$$ Теперь найдем тангенс угла α: $$\tan(α) = \frac{\sin(α)}{\cos(α)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\tan(α) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Ответ: $$\tan(∠ACB) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$