5. ABCD – параллелограмм, $$S_{ABCD} = 48 \text{ см}^2$$, $$cos B = \frac{3}{5}$$, одна из сторон параллелограмма на 4 см меньше другой стороны. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Пусть одна сторона параллелограмма равна a, тогда другая сторона равна a + 4. Площадь параллелограмма можно выразить как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними:

$$ S = a(a + 4) \sin B $$

Найдем синус угла B, зная его косинус:

$$ sin^2 B + cos^2 B = 1 $$ $$ sin^2 B = 1 - cos^2 B = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$ $$ sin B = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$

Подставим известные значения в формулу площади параллелограмма:

$$ 48 = a(a + 4) \cdot \frac{4}{5} $$

Решим уравнение относительно a:

$$ 48 \cdot \frac{5}{4} = a(a + 4) $$ $$ 60 = a^2 + 4a $$ $$ a^2 + 4a - 60 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 $$ $$ a_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2} = \frac{-4 + 16}{2} = 6 $$ $$ a_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2} = \frac{-4 - 16}{2} = -10 $$

Так как длина не может быть отрицательной, то $$a = 6$$ см. Следовательно, другая сторона параллелограмма равна $$a + 4 = 6 + 4 = 10$$ см.

Периметр параллелограмма ABCD равен:

$$ P = 2(a + a + 4) = 2(6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32 \text{ см} $$

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 32 см.