4. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе проведена высота BH. Катет AB равен √24 см, проекция катета BC на гипотенузу равна 5 см. Найдите длину высоты BH.

Пусть проекция катета AB на гипотенузу равна AH. Тогда, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABH, имеем:

$$ BH^2 = AB^2 - AH^2 $$

По условию ( AB = \sqrt{24} ) см, и проекция катета BC на гипотенузу HC = 5 см. Пусть гипотенуза AC = x, тогда AH = x - 5. Подставим известные значения в выражение выше:

$$ BH^2 = (\sqrt{24})^2 - (x - 5)^2 = 24 - (x - 5)^2 $$

Выразим катет (AB) через гипотенузу и его проекцию:

$$ AB^2 = AH \cdot AC $$ $$ 24 = (x - 5) \cdot x $$ $$ x^2 - 5x - 24 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 $$ $$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8 $$ $$ x_2 = \frac{5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{5 - 11}{2} = -3 $$

Так как длина не может быть отрицательной, то (x = 8) см. Следовательно, (AH = x - 5 = 8 - 5 = 3) см.

Теперь найдем высоту BH:

$$ BH^2 = AB^2 - AH^2 = (\sqrt{24})^2 - 3^2 = 24 - 9 = 15 $$ $$ BH = \sqrt{15} $$

Ответ: Высота BH равна $$\sqrt{15}$$ см.