(122) $$ABCD$$ – трапеция, $$AB = CD$$, $$S_{ABCD} = 96$$ см², $$AH = 12$$ см. Найдите высоту трапеции.

Для решения задачи необходимо найти высоту трапеции. Так как трапеция равнобедренная, высота, проведённая из вершины $$B$$ к основанию $$AD$$, равна высоте, проведённой из вершины $$C$$ к основанию $$AD$$. Обозначим высоту трапеции за $$x$$. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

$$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot AH$$

В данной задаче известна площадь трапеции $$S_{ABCD} = 96$$ см² и высота $$AH = 12$$ см. Обозначим длину отрезка $$DH$$ за $$y$$.

Используем формулу площади трапеции:

$$96 = \frac{BC + AD}{2} \cdot 12$$

Разделим обе части уравнения на 12:

$$8 = \frac{BC + AD}{2}$$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$16 = BC + AD$$

Из рисунка видно, что $$AD = AH + HD = 12 + y$$.

Так как нам необходимо найти высоту трапеции, обозначим её за $$x$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB = CD$$. Опустим высоту из точки $$C$$ на основание $$AD$$, получим точку $$K$$. Тогда $$AK = HD = y$$ и $$BC = HK = AD - 2y = 12 + y - 2y = 12 - y$$.

Подставим $$BC$$ и $$AD$$ в уравнение $$16 = BC + AD$$:

$$16 = (12 - y) + (12 + y)$$ $$16 = 24$$

Получили противоречие, следовательно, задача сформулирована не корректно. Но, исходя из условия, необходимо найти высоту трапеции, зная площадь и высоту $$AH$$.

В условии сказано, что $$AH = 12$$ см - это высота, проведённая к основанию. Следовательно, высота трапеции равна $$AH = 12$$ см.

Ответ: 12