(124) $$ABCD$$ – трапеция, $$CK \parallel AB$$, $$AC = 13$$, $$KD = 9$$, $$AB : CD = 4 : 5$$. Найдите $$S_{ABCD}$$.

Пусть $$AB = 4x$$, тогда $$CD = 5x$$. Т.к. $$CK \parallel AB$$, то $$ABCK$$ – параллелограмм, следовательно, $$AB = CK = 4x$$ и $$BC = AK$$. Тогда $$AD = AK + KD = BC + 9$$. Рассмотрим треугольник $$ACK$$. По теореме косинусов имеем:

$$AC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 \cdot AK \cdot CK \cdot \cos \angle AKC$$

Также рассмотрим треугольник $$ABD$$. По теореме косинусов имеем:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$$

Т.к. $$\angle AKC = \angle BAD$$ (как соответственные углы при параллельных прямых $$CK$$ и $$AB$$ и секущей $$AD$$), то $$\cos \angle AKC = \cos \angle BAD$$. Но нам ничего не известно про $$BD$$, поэтому решать через теорему косинусов сложно.

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её высоту. Проведём высоту $$CF$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AK = AD - KD = AD - 9$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACF$$. По теореме Пифагора имеем:

$$AC^2 = AF^2 + CF^2$$

Необходимо найти площадь трапеции $$ABCD$$. Поскольку $$CK \parallel AB$$, то $$ABCK$$ - параллелограмм, следовательно, $$BC = AK$$, $$AB = CK = 4x$$ и $$CD = 5x$$. $$KD = 9$$, поэтому $$AD = AK + KD = BC + 9$$.

Площадь трапеции $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} h = \frac{BC + BC + 9}{2} h = (BC + 4.5)h$$, где $$h$$ - высота трапеции.

Рассмотрим треугольник $$ACK$$, где $$AC = 13$$, $$CK = 4x$$, $$AK = BC$$.

В условии задачи недостаточно данных для нахождения площади трапеции.

Ответ: Нет данных