59 ABCD – трапеция MN – 20 – средняя линия B OK-?

Рассмотрим трапецию ABCD, описанную около окружности. MN - средняя линия, следовательно, $$MN=\frac{AD+BC}{2}$$.

По условию, $$MN=20$$, значит $$\frac{AD+BC}{2}=20$$, $$AD+BC=40$$

Т.к. в трапецию вписана окружность, то $$AB+CD=AD+BC=40$$

Проведем высоту OK из вершины O к стороне AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOK, где ∠A = 60°. OK - катет, лежащий против угла в 30° (90 - 60), равен половине гипотенузы AO.

Пусть OK= x, тогда AB = 2x. Составим уравнение: $$2x+CD=40$$

Т.к. недостаточно данных, чтобы найти OK, то примем, что трапеция равнобедренная, тогда $$AB=CD$$. Составим уравнение: $$2AB=40$$, AB=20. Тогда, OK = 10.

Ответ: OK = 10, если трапеция равнобедренная.