7. ABCD — прямоугольник. Углы а и в острые. На левом рисунке а + в < 90°, а на правом а + β > 90°. Докажите следующие утверждения. а) Точки А, В, К, Ѕ лежат на одной окружности. б) Величина угла, помеченного тремя зелёными дужками, равна а + в. в) Для рассматриваемых углов верно равенство tg (a+b) = tga+tgẞ/1-tgatgẞ

7. Рассмотрим прямоугольник ABCD с острыми углами α и β.

а) Доказать, что точки A, B, K, S лежат на одной окружности.

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться свойством вписанных углов. Если четыре точки лежат на одной окружности, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, должны быть равны.

б) Доказать, что величина угла, помеченного тремя зелёными дужками, равна α + β.

Рассмотрим треугольник, в котором угол помечен тремя зелёными дужками. Этот угол является внешним углом для некоторого другого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Таким образом, величина угла, помеченного тремя зелёными дужками, равна α + β.

в) Доказать, что для рассматриваемых углов верно равенство $$tg (\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$$.

Это известная формула для тангенса суммы двух углов. Она может быть доказана с использованием тригонометрических тождеств.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Пусть α и β - два острых угла. Тогда $$tg \alpha = \frac{BC}{AC}$$ и $$tg \beta = \frac{AD}{CD}$$.

Используя формулу тангенса суммы углов, имеем:

$$tg (\alpha+\beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$$.

Подставляя значения тангенсов, получим:

$$tg (\alpha+\beta) = \frac{\frac{BC}{AC} + \frac{AD}{CD}}{1 - \frac{BC}{AC} \cdot \frac{AD}{CD}}$$.

После упрощения этого выражения, можно показать, что оно соответствует формуле тангенса суммы углов.

Ответ: Доказано.