9. На хорде АВ окружности с центром О взяли произвольную точку М. Через точки А, М и О провели окружность, пересекающую первую окружность в точках А и С. Докажите равенство МВ = МС.

9. Дано: Окружность с центром O, хорда AB, точка M на хорде AB. Окружность, проходящая через точки A, M, O, пересекает первую окружность в точке C.

Доказать: MB = MC.

Доказательство:

1) ∠ACO = 90° (угол, опирающийся на диаметр AO в окружности, проходящей через A, M, O).

2) ∠ACB = 90° (угол, опирающийся на диаметр AB в окружности с центром O).

3) Следовательно, точки C, O, B лежат на одной прямой (так как ∠ACO + ∠OCB = 180°).

4) Рассмотрим треугольник OMC: OM = OC (радиусы окружности с центром O), следовательно, треугольник OMC равнобедренный.

5) ∠OMC = ∠OCM (углы при основании равнобедренного треугольника OMC).

6) ∠AMO = ∠CMB (вертикальные углы).

7) Рассмотрим треугольники AMO и CBM:

- ∠MAO = ∠MCB (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MO в окружности, проходящей через A, M, O).

- ∠AMO = ∠CMB (вертикальные углы).

- Следовательно, треугольники AMO и CBM подобны по двум углам.

8) Из подобия треугольников следует: AM/CM = OM/BM.

9) Рассмотрим треугольники OMC и OMB: OM = OC, ∠OMC = ∠OMB, следовательно, треугольники OMC и OMB равны по двум сторонам и углу между ними.

10) Следовательно, MC = MB (соответствующие стороны равных треугольников).

Ответ: MB = MC. Доказано.