55. ABCD - прямоугольник, AD = 10, AO - ?

В данной задаче дан прямоугольник ABCD, вписанный в окружность. Известно, что AD = 10 и ∠AOD = 120°. Нужно найти AO, то есть радиус окружности. Так как ABCD - прямоугольник, то AC = BD, и они являются диаметрами окружности. O - точка пересечения диагоналей прямоугольника, следовательно, O - центр окружности. Рассмотрим треугольник AOD. AO = OD (как радиусы), и ∠AOD = 120°. Следовательно, треугольник AOD - равнобедренный, и углы при основании равны: ∠OAD = ∠ODA = (180° - 120°) / 2 = 30°. Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника AOD: \[\frac{AD}{\sin(\angle AOD)} = \frac{AO}{\sin(\angle ODA)}\] Подставим известные значения: \[\frac{10}{\sin(120°)} = \frac{AO}{\sin(30°)}\] \[AO = \frac{10 \cdot \sin(30°)}{\sin(120°)} = \frac{10 \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\] Ответ: AO = $$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$