ABCD — прямоугольник. Найдите: а) P_COD, если CD = 4 и AO = 5; б) P_AOD, если AD = 12; в) AD, если P_AOB = 25, P_ACD = 40.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

а) AO = OC = BO = OD = 5, а CD = 4. Диагональ BD = 2 · OD = 10. В прямоугольном треугольнике ACD: AC² = AD² + CD². Так как AC = BD = 10, получаем AD² = 100 − 16 = 84, поэтому CD уже не нужна для периметра △COD, кроме определения его стороны: CD не является стороной этого треугольника. У △COD стороны CO = 5, OD = 5, CD = 4. Значит, P_COD = 14.

б) AO = OD = 6, так как диагонали прямоугольника делятся пополам, а AD = 12. Из прямоугольного треугольника AOD: AO² = AD² + OD², откуда 6² = 12² + OD², что невозможно. Следовательно, данные пункта б) противоречат свойствам прямоугольника: диагональ не может быть короче стороны AD.

в) Обозначим стороны прямоугольника AD = x, AB = y, а половину диагонали через r. Периметр △AOB: x? Стороны AO = BO = r, AB = y, поэтому 2r + y = 25. Периметр △ACD: AC = 2r, CD = y, AD = x, поэтому 2r + x + y = 40. Вычитая первое равенство из второго, получаем x = 15.

Ответ: а) 14; б) условие противоречиво; в) AD = 15.