ABCD — трапеция, ∠ABC = 135°, ∠BDC = 45°, ∠C = 90°, AD = 30. Найти BC.

1. В треугольнике BCD угол C прямой, а ∠BDC = 45°. Поэтому ∠CBD = 45°, и треугольник BCD — равнобедренный прямоугольный: BC = CD.

2. Поскольку AD ∥ BC, соседние углы при стороне AB дополняют друг друга до 180°: ∠A = 180° − 135° = 45°. Горизонтальная проекция AB равна высоте трапеции, то есть CD.

3. Следовательно, нижнее основание состоит из двух отрезков длиной BC: AD = CD + BC = 2BC. Тогда 30 = 2BC, откуда BC = 15.

Ответ: BC = 15.