Абсолютная величина вектора \(\lambda \overrightarrow{a}\) равна 5. Найдите \(\lambda\), если: 1) \(\overrightarrow{a}(-6; 8)\); 2) \(\overrightarrow{a}(3; -4)\); 3) \(\overrightarrow{a}(5; 12)\).

Ответ: 1) \(\lambda = \pm 0.5\); 2) \(\lambda = \pm 1\); 3) \(\lambda = \pm \frac{5}{13}\).

Смотри, как это работает:

1. Общий случай:

• Пусть \(\overrightarrow{a}(x; y)\), тогда \(\lambda \overrightarrow{a} = (\lambda x; \lambda y)\)
• Абсолютная величина \(\lambda \overrightarrow{a}\) равна \(|\lambda \overrightarrow{a}| = \sqrt{(\lambda x)^2 + (\lambda y)^2} = |\lambda| \sqrt{x^2 + y^2}\)
• По условию \(|\lambda \overrightarrow{a}| = 5\), следовательно, \(|\lambda| \sqrt{x^2 + y^2} = 5\)
• Выразим \(|\lambda|\): \(|\lambda| = \frac{5}{\sqrt{x^2 + y^2}}\), тогда \(\lambda = \pm \frac{5}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)

2. Для \(\overrightarrow{a}(-6; 8)\):

• \(\lambda = \pm \frac{5}{\sqrt{(-6)^2 + 8^2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{36 + 64}} = \pm \frac{5}{\sqrt{100}} = \pm \frac{5}{10} = \pm 0.5\)

3. Для \(\overrightarrow{a}(3; -4)\):

• \(\lambda = \pm \frac{5}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{9 + 16}} = \pm \frac{5}{\sqrt{25}} = \pm \frac{5}{5} = \pm 1\)

4. Для \(\overrightarrow{a}(5; 12)\):

• \(\lambda = \pm \frac{5}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{25 + 144}} = \pm \frac{5}{\sqrt{169}} = \pm \frac{5}{13}\)

Ответ: 1) \(\lambda = \pm 0.5\); 2) \(\lambda = \pm 1\); 3) \(\lambda = \pm \frac{5}{13}\).