7 A 6 45 C D 30 B

Рассмотрим треугольник ABD - прямоугольный, в котором угол B равен 30 градусов, угол A равен 45 градусов. Сумма углов треугольника равна 180 градусов, следовательно угол ADB равен 90 градусов. Тогда угол C равен 45 градусов.

Катет AD является общим катетом для треугольников ACD и ABD. По теореме о сумме углов треугольника, угол CAD равен 45 градусам. Тогда треугольник ACD - равнобедренный, следовательно, AD = CD.

В прямоугольном треугольнике ABD катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Пусть BD = x, тогда AB = 2x.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AD^2 + BD^2$$, следовательно, $$(2x)^2 = AD^2 + x^2$$, $$4x^2 = AD^2 + x^2$$, $$AD^2 = 3x^2$$, $$AD = x\sqrt{3}$$.

В треугольнике АВС угол C равен 45 градусам, тогда AC = AD = x\sqrt{3}.

Тогда площадь треугольника АВС равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x\sqrt{3} \cdot (x\sqrt{3} + x) = \frac{1}{2} \cdot (3x^2 + x^2\sqrt{3})$$.

Поскольку катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы, то $$x = \frac{6}{2} = 3$$.

Тогда площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 3^2 + 3^2\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot (27 + 9\sqrt{3}) = \frac{27 + 9\sqrt{3}}{2}$$.

Ответ: $$\frac{27 + 9\sqrt{3}}{2}$$