75. AD || BC, AB = CD, AD = 9, OF - ?

Рассмотрим трапецию ABCD, где AD || BC и AB = CD. OF - радиус вписанной окружности, и F - точка касания окружности со стороной AD. Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна: AD + BC = AB + CD. Так как AB = CD, то AD + BC = 2AB. Проведем высоту BE. Тогда AE = (AD - BC)/2. Так как AD = 9 и BC = 4, то AE = (9 - 4)/2 = 5/2 = 2.5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. В нем $$AB^2 = AE^2 + BE^2$$. Так как AB = CD, и AD + BC = 2AB, то 9 + 4 = 2AB, следовательно, AB = 13/2 = 6.5. Тогда $$BE^2 = AB^2 - AE^2 = (6.5)^2 - (2.5)^2 = 42.25 - 6.25 = 36$$. Следовательно, BE = 6. Так как OF - радиус вписанной окружности, то OF = BE/2 = 6/2 = 3. Ответ: 3