3. АК и СР - диаметры окружности с центром в точке О. Докажите, что хорды АР и КС равны и параллельны.

Доказательство:

1. Рассмотрим углы $$\angle AOP$$ и $$\angle KOC$$. Они вертикальные, следовательно, $$\angle AOP = \angle KOC$$.
2. $$AO = OK$$ и $$PO = OC$$, так как это радиусы одной и той же окружности.
3. Следовательно, треугольники $$\triangle AOP$$ и $$\triangle KOC$$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует, что $$AP = KC$$.
5. Рассмотрим углы $$\angle OAP$$ и $$\angle OKC$$. Они равны как соответственные углы в равных треугольниках $$\triangle AOP$$ и $$\triangle KOC$$. Это означает, что прямые AP и KC параллельны, так как соответственные углы равны.

Таким образом, хорды AP и KC равны и параллельны.