1) Актёр часто вспоминал и рассказывал друзьям услышанную в детстве историю о львах.
Запятая не нужна, так как это простое предложение, не осложнено ничем.
2) Анюта и Лизонька медленно шли по скользкой дороге, внимательно смотря под ноги.
В данном предложении необходимо выделить запятой деепричастный оборот "внимательно смотря под ноги", так как он стоит после определяемого слова "дороге".
3) В полноводной реке, протекающей в маленькой калужской деревне, было много рыбы.
В данном предложении необходимо выделить запятыми причастный оборот "протекающей в маленькой калужской деревне", так как он стоит после определяемого слова "реке".
4) Отправившись в лес за грибами, обещали родителям быть очень осторожными.
В данном предложении необходимо выделить запятой деепричастный оборот "отправившись в лес за грибами", так как он стоит в начале предложения.
Таким образом, только в предложении 1 не нужно ставить запятые.
Ответ: Актёр часто вспоминал и рассказывал друзьям услышанную в детстве историю о львах.