17) Антон задумал двузначное число. Затем он нашёл сумму цифр этого числа и произведение цифр этого числа, записал сумму и произведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 2110. Какое число задумал Антон? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Объясните решение.

Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{ab}\), где \(a\) и \(b\) - цифры от 0 до 9, при этом \(a
eq 0\). Тогда сумма цифр равна \(a + b\), а произведение цифр равно \(a \cdot b\). По условию, число 2110 получилось путём записи рядом суммы и произведения цифр в каком-то порядке. Это значит, что либо \(a + b = 21\) и \(a \cdot b = 10\), либо \(a + b = 10\) и \(a \cdot b = 21\). Рассмотрим первый случай: \(a + b = 21\) и \(a \cdot b = 10\). Так как максимальное значение каждой цифры равно 9, то максимальная сумма двух цифр равна 18 (9 + 9), а не 21. Следовательно, этот случай невозможен. Рассмотрим второй случай: \(a + b = 10\) и \(a \cdot b = 21\). Нужно найти такие две цифры, которые в сумме дают 10, а в произведении 21. Подходящие цифры: 3 и 7, так как \(3 + 7 = 10\) и \(3 \cdot 7 = 21\). Следовательно, задуманное число может быть либо 37, либо 73. Проверим оба варианта: Если задуманное число 37: сумма цифр \(3 + 7 = 10\), произведение цифр \(3 \cdot 7 = 21\). Запись рядом даёт 1021 или 2110. Подходит. Если задуманное число 73: сумма цифр \(7 + 3 = 10\), произведение цифр \(7 \cdot 3 = 21\). Запись рядом даёт 1021 или 2110. Подходит. Таким образом, Антон мог задумать числа 37 или 73. Ответ: 37 или 73