4 А...С, - правильная треугольная призма. Угол между плоскостями ВА, С и АВС равен 60°, площадь сечения ВА, С равна 8√3 см². Найдите периметр основания призмы.

Ответ: 24 см

Пусть \(ABCA_1B_1C_1\) - правильная треугольная призма. Угол между плоскостями \(BA_1C\) и \(ABC\) равен 60°, площадь сечения \(BA_1C\) равна \(8\sqrt{3}\) см². Необходимо найти периметр основания призмы.

Обозначим сторону основания призмы как \(a\). Тогда площадь основания \(ABC\) равна: \[S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]

Высота \(A_1K\) сечения \(BA_1C\) является высотой равнобедренного треугольника \(BA_1C\), поэтому она также является медианой. Следовательно, \(BK = KC = \frac{a}{2}\).

Площадь сечения \(BA_1C\) можно выразить как: \[S_{BA_1C} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1K = \frac{1}{2} \cdot a \cdot A_1K\] Из условия \(S_{BA_1C} = 8\sqrt{3}\) см², получаем: \[\frac{1}{2} \cdot a \cdot A_1K = 8\sqrt{3}\] \[A_1K = \frac{16\sqrt{3}}{a}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(A_1KA\). Угол \(\angle A_1KA = 60^\circ\) (угол между плоскостями \(BA_1C\) и \(ABC\)). \[\tan(60^\circ) = \frac{AA_1}{AK}\] \[\sqrt{3} = \frac{AA_1}{AK}\] \[AA_1 = AK \sqrt{3}\] Так как \(AK = \frac{a \sqrt{3}}{2}\), то \(AA_1 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}\)

Теперь найдем \(A_1K\) через теорему Пифагора в треугольнике \(A_1KA\): \[A_1K^2 = AA_1^2 + AK^2\] \[\left(\frac{16\sqrt{3}}{a}\right)^2 = \left(\frac{3a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2\] \[\frac{256 \cdot 3}{a^2} = \frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}\] \[\frac{768}{a^2} = 3a^2\] \[a^4 = \frac{768}{3} = 256\] \[a = \sqrt[4]{256} = 4\]

Периметр основания призмы равен: \[P = 3a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}\]

Ответ: 12 см