3 Найдите величину двугранного угла при ребре основания правильной пирамиды DABC со стороной основания 16√3 и высотой 8.

Ответ: 60°

Пусть \(DABC\) - правильная пирамида, где \(ABC\) - равносторонний треугольник, сторона которого равна \(16\sqrt{3}\), и высота пирамиды равна 8. Необходимо найти величину двугранного угла при ребре основания.

1. Найдем высоту основания \(AK\) (медиану и биссектрису) равностороннего треугольника \(ABC\): \[AK = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24\]

2. Найдем \(OK\), где \(O\) - центр основания (точка пересечения медиан). В равностороннем треугольнике медианы делятся в отношении 2:1, начиная от вершины, поэтому: \[OK = \frac{1}{3} AK = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8\]

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DOK\). Найдем тангенс угла \(DKO\), который является линейным углом двугранного угла при ребре основания: \[\tan(\angle DKO) = \frac{DO}{OK} = \frac{8}{8} = 1\] Следовательно, \(\angle DKO = \arctan(1) = 45^\circ\).

Ответ: 45°