2 В прямоугольном параллелепипеде А...D₁ AC = 13, DC = 5, АА, = 12. Найдите угол между пл. ABCD и пл. DA,B,C.

Ответ: 45°

Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) - прямоугольный параллелепипед. \(AC = 13, DC = 5, AA_1 = 12\). Необходимо найти угол между плоскостями \(ABCD\) и \(DA_1B_1C\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\). По теореме Пифагора найдем \(AD\): \[AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

Угол между плоскостями \(ABCD\) и \(DA_1B_1C\) - это угол между перпендикуляром, опущенным из точки \(A_1\) на плоскость \(ABCD\), и диагональю \(AD\). Обозначим этот угол как \(\alpha\). Тогда: \[\tan(\alpha) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{12}{12} = 1\] Следовательно, \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\).

Ответ: 45°