АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром О
• АС и BD – диаметры
• Угол АСВ = 54°

Найти: Угол AOD

Решение:

1. Угол ADB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Следовательно, ∠ADB = ∠ACB = 54°.
2. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD (если бы BD был диаметром, то угол BAD был бы 90, но тут AC и BD - диаметры).
4. Рассмотрим треугольник AOB. Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, ∠AOB = 2 * ∠ACB = 2 * 54° = 108°.
5. Угол AOD является смежным углом к углу AOB, если точки C, O, A лежат на одной прямой (AC - диаметр), и точки D, O, B лежат на одной прямой (BD - диаметр).
6. Угол AOD и угол BOC - вертикальные углы.
7. Угол BOC - центральный угол. Угол BDC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
8. Рассмотрим треугольник BOC. Угол BOC — центральный угол. Угол BDC — вписанный, опирающийся на ту же дугу BC.
9. Так как AC — диаметр, угол ABC = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
10. Так как BD — диаметр, угол BCD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
11. В треугольнике BCD: угол CBD + угол BDC + угол BCD = 180°.
12. В треугольнике ABC: угол BAC + угол ACB + угол ABC = 180°.
13. Рассмотрим треугольник BOC. Угол BOC — центральный. Угол BAC — вписанный, опирающийся на дугу BC. Значит, ∠BOC = 2 * ∠BAC.
14. В прямоугольном треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ACB = 90°.
15. ∠BAC = 90° - ∠ACB = 90° - 54° = 36°.
16. Тогда центральный угол BOC: ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 36° = 72°.
17. Углы AOD и BOC — вертикальные, поэтому ∠AOD = ∠BOC = 72°.

Ответ: 72